Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/373

${\begin{array}{clr}a'+b'+c'&=0,\qquad &(1)\\aa'+bb'+cc'&=0.\qquad &(2)\end{array}}$

Si $A,B,C$ sont trois angles quelconques et qu’on pose

${\begin{aligned}&B-C=A',\\&C-A=B',\\&A-B=C'\,;\end{aligned}}$

on aura pareillement

${\begin{array}{clr}A'+B'+C'&=0,\qquad &(3)\\AA'+BB'+CC'&=0.\qquad &(4)\end{array}}$

L’équation (3) donne tour-à-tour

$\left.{\begin{aligned}&-B'-C'=A'=B-C,\\&-C'-A'=B'=C-A,\\&-A'-B'=C'=A-B\,;\end{aligned}}\right\}\mathrm {\ d'o{\grave {u}}\ } \left\{{\begin{aligned}&C-C'=B+B'\\&A-A'=C+C'\\&B-B'=A+A'\,;\end{aligned}}\right.$

et par conséquent

${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .(C-C')=\operatorname {Cos} .(B+B'),\qquad &\operatorname {Sin} .(B+B')=\operatorname {Sin} .(C-C'),\\\operatorname {Cos} .(A-A')=\operatorname {Cos} .(C+C'),\qquad &\operatorname {Sin} .(C+C')=\operatorname {Sin} .(A-A'),\\\operatorname {Cos} .(B-B')=\operatorname {Cos} .(A+A'),\qquad &\operatorname {Sin} .(A+A')=\operatorname {Sin} .(B-B')\,;\end{aligned}}$

d’où en ajoutant et transposant

$(A+A')+(B+B')+(C+C')-(A-A')-(B-B')-(C-C')=0\,;$ (5)