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rapportée cette courbe à une horizontale et à une verticale menées dans son plan, par son point le plus bas, prises respectivement pour axes des $x$ et pour axe des $y$ ; la première de ces droites sera tangente et l’autre normale à la courbe.

Cette courbe éprouvera à l’origine une tension inconnue que nous pourrons designer par $a$.

Considérons un autre point quelconque $(x,y)$ de la courbe, et soit $z$ ce que pèserait une unité de longueur de cette courbe si, pour toute la longueur de cette unité, sa densité était la même qu’en ce point.

Si nous désignons par P la longueur de l’arc de la courbe depuis l’origine jusqu’au point $(x,y)$, le poids de cet arc sera $\int z\operatorname {d} s.$ Soit $t$ la tension au même point ; et représentons, à l’ordinaire, par $p$ le rapport ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}};$ on la tangente tabulaire de l’angle que fait la courbe en $(x,y)$ avec l’axe des $x$.

On démontre en statique que, lorsqu’une corde pesante est supendue librement, en désignant par $P$ le poids d’une portion quelconque de cette corde, par $T$ et $T'$ les tensions aux extrémités de cette portion, et enfin par $\alpha$ et $\alpha '$ les angles que font respectivement les directions de ces tensions avec l’horizon, on doit avoir la double équation

${\frac {P}{\operatorname {Sin} .(\alpha +\alpha ')}}={\frac {T}{\operatorname {Cos} .\alpha '}}={\frac {T'}{\operatorname {Cos} .\alpha }},$

appliquant ce principe général à l’arc $s$, nous aurons

$P=\int z\operatorname {d} s,\quad T=a,\quad T'=t,\quad \alpha =0,\quad \operatorname {Tang} .\alpha '=p,$

d’où

et par quelques nuances très-légères, nous avons cru devoir les fondre dans une rédaction unique.

J. D. G.