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$t=bz,\qquad$(3)

où $b$ est une constante.

En mettant pour $t,$ dans cette équation, sa valeur tirée de l’équation (1), on aura

$z={\frac {a}{b}}{\sqrt {1+p^{2}}}\,;\qquad$(4)

mettant ensuite cette valeur de $z$ dans l’équation (2), on aura

$b{\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}=1+p^{2},\qquad$(5)

c’est-à-dire,

$\operatorname {d} x=b{\frac {\operatorname {d} p}{1+p^{2}}},$

ce qui donnera, en intégrant,

$x=b\operatorname {Arc} .(\operatorname {Tang} .=p)$

ou, ce qui revient au même,

$p=\operatorname {Tang} .{\frac {x}{b}}.\qquad$(6)

Nous n’ajoutons point de constante, parce que $x$ et $p$ doivent être zéro en même temps.

En remettant pour $p$ sa valeur ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},$ cette équation donnera

$\operatorname {d} y=\operatorname {d} x\operatorname {Tang} .{\frac {x}{b}}=b.{\frac {\operatorname {d} .{\frac {x}{b}}\operatorname {Sin} .{\frac {x}{b}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {x}{b}}}}=-b.{\frac {\operatorname {d} .\operatorname {Cos} .{\frac {x}{b}}}{\operatorname {Cos} .{\frac {x}{b}}}}\,;$

d’où, en intégrant,