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$p={\frac {y'(r+2x')}{x'(r+2x')-r^{2}}},$

l’équation du rayon réfléchi sera donc

$y-y'={\frac {y'(r+2x')}{x'(r+2x')-r^{2}}},$

ou encore

$\left[r^{2}-x'(r+2x')\right]y+y'(r+2x')x=r^{2}y'.\qquad$(2)

On exprimera que la caustique est l’enveloppe de l’espace parcouru par le rayon réfléchi, en éliminant ${\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}$ entre les dérivées de (1) et (2) ; ce qui donnera

$-{\frac {x'}{y'}}={\frac {(r+4x')y-2y'x}{(r+2x')x-r^{2}}},$

ou bien, en ayant encore égard à la relation (1)

$(r+4x')yy'+\left[x'(r+4x')-2r^{2}\right]x=r^{2}x'.\qquad (3)$

L’équation de la courbe cherchée sera donc le résultat de l’élimination de $x'$ et $y'$ entre les équations (1), (2), (3).

Mais, comme les équations (2) et (3) ne sont guères de nature à se prêter à l’usage de l’équation (1), comme moyen de simplification, attendu que $x$ et $y$ n’entrent pas dans celle-ci ; nous allons en déduire deux autres, plus commodes à employer ; et pour cela nous éliminerons tour à tour entre elles $x$ et $y$. En faisant toujours usage de l’équation (1), comme moyen de simplification, elles se trouveront ainsi remplacées par les deux équations

${\begin{aligned}3r(r+x')x&=2x'y'^{2}+r^{2}(r+x'),\\3r(r+x')y&=2y'^{3}.\end{aligned}}$