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En observant que $y'^{2}=r^{2}-x'^{2}=(r+x')(r-x'),$ celles-ci pourront encore être simplifiées, et deviendront finalement

${\begin{array}{lr}r(3x-r)=2x'(r-x'),\qquad &(\mathrm {4} )\\3ry=2y'(r-x').\qquad \qquad &(5)\end{array}}$

Telles sont donc les équations qui, avec l’équation (1), nous serviront à trouver celle de la courbe demandée.

Remarquons, en passant, une propriété de la caustique que l’on déduit de suite de la comparaison des équations (4) et (5). En les divisant l’une par l’autre, on a

${\frac {3y}{3x-r}}={\frac {y'}{x'}}\,;\qquad$(6)

or ${\frac {y'}{x'}}$ est la tangente tabulaire de l’angle que fait avec l’axe des $x$ la normale au point d’incidence ; et ${\frac {3y}{3x-r}}$ ou ${\frac {y}{x-{\frac {r}{3}}}}$ est celle de l’angle que fait avec le même axe une droite menée du point correspondant de la caustique à un point fixe de l’axe des $x$, situé à une distance $+{\frac {r}{3}}$ de l’origine : on a donc ce théorème :

Un point rayonnant étant situé sur la circonférence d’un cercle réfléchissant ; si par ce point on mène un rayon incident et le rayon réfléchi correspondant, et que, par un point fixe situé aux deux tiers du diamètre qui passe par le point rayonnant, à compter de ce point, on mène une parallèle à la normale au point d’incidence ; cette parallèle coupera le rayon réfléchi à son point de contact avec la caustique} et conséquemment en un point de cette caustique.

Ce théorème offre une méthode graphique fort simple pour tracer la caustique par points ; on en peut conclure aussi l’art de me-