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et telle sera l’équation qu’il faudra joindre aux équations générales (1) et (2), pour obtenir la solution du problème particulier qui nous occupe.

En portant dans cette équation la valeur de $t$ donnée par l’équation (1), elle deviendra

$z={\frac {b}{b+a{\sqrt {1+p^{2}}}}}.\qquad$(4)

Portant ensuite cette dernière valeur de $z$ dans l’équation (2), nous aurons pour l’équation différentielle du second ordre de la courbe cherchée

$a\left(b+a{\sqrt {1+p^{2}}}\right){\frac {\operatorname {d} p}{\operatorname {d} x}}=b{\sqrt {1+p^{2}}}.\qquad$(5)

Si nous pouvons obtenir deux intégrales premières de cette équation, l’élimination de $p$ entre elles conduira à l’équation primitive.

On en tire d’abord

$b\operatorname {d} x=a\left(b.{\frac {\operatorname {d} p}{\sqrt {1+p^{2}}}}+a\operatorname {d} p\right)\,;\qquad$(6)

ce qui donne, en intégrant,

$bx=a\left\{ap+b\operatorname {Log} .\left(p+{\sqrt {1+p^{2}}}\right)\right\},$

ou encore

$e^{{\frac {bx}{a^{2}}}-p}=\left(p+{\sqrt {1+p^{2}}}\right)^{\frac {b}{a}}\,;\qquad$(7)

intégrale à laquelle ¥*ous n’ajoutons point de constante, parce que $x$ et $p$ doivent être nuls en même temps.

En multipliant la même équation (6) par $p$ et mettant ensuite dans son premier membre $\operatorname {d} y$ pour $p\operatorname {d} x,$ elle devient

$b\operatorname {d} y=a\left(b.{\frac {p\operatorname {d} p}{\sqrt {1+p^{2}}}}+ap\operatorname {d} p\right)$

ce qui donne en intégrant, et observant que $y$ et $p$ doivent être nuls en même temps