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Il est connu que, si l’on combine ensemble, d’une manière quelconque, les équations de deux lieux géométriques, l’équation résultante sera celle d’un troisième lieu géométrique, contenant les points communs aux deux premiers ; donc, en particulier, la différence des équations (1) et (2) appartient à un lieu géométrique qui contient le point de contact qu’ont les deux courbes à l’origine et les deux autres points où elles se coupent ; or, cette différence est

$x\left\{2(A-a)y+(B-b)x+2(C-c)\right\}=0,$

qui exprime le système de deux droites, dont l’une est l’axe des $y$ qui contient uniquement le point de contact, donc l’autre

$2(A-a)y+(B-b)x+2(C-c)=0,\qquad$(3)

est la droite qui joint les deux points d’intersection des deux courbes. Si ces points d’intersection sont imaginaires, la droite (3) deviendra ce que M. Poncelet a appelé corde idéale, mais on pourra toujours la construire.

Si l’on profite de l’indétermination des constantes $A,B,C,$ pour faire en sorte que la droite (3) passe par l’origine ; ce qui se réduit à poser $C=c,$ l’un des deux points d’intersection viendra se joindre au point de contact ; de sorte que les deux courbes auront alors, à l’origine, un contact du second ordre. Ainsi, toutes les courbes comprises dans l’équation générale

$y^{2}+2Axy+Bx^{2}+2cx=0,\qquad$(4)

dans laquelle $A$ et $B$ sont indéterminés, ont à l’origine, avec la courbe (1), un contact du second ordre. Les deux courbes ont en outre une intersection qui, dans ce cas, est nécessairement réelle.

Si l’on profitait de l’indétermination des constantes $A,B,C,$ pour faire coïncider la droite (3) avec l’axe des $y$, ce qui se réduirait à poser, à la fois, $A=a$ et $C=c,$ les points d’intersection se con-