Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1826-1827, Tome 17.djvu/73

GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.

Recherche graphique du cercle osculateur,
pour les lignes du second ordre ;

Par M. Plucker, docteur de l’Université de Bonn.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soit rapportée une ligne du second ordre à l’un quelconque de ses points, pris pour origine des coordonnées, et à sa tangente en ce point prise pour axe des $y$, l’axe des $x$ étant dirigé suivant la normale ; l’équation de la courbe sera de la forme

$y^{2}+2axy+bx^{2}+2cx=0,\qquad$(1)

où $a,b,c$ seront des quantités déterminées. Il faut en effet, d’après la situation donnée de la courbe qu’en posant $x=0,$ on ait deux valeurs nulles pour $y$.

Toutes les autres lignes du second ordre touchant celle-là à l’origine seront comprises dans l’équation générale.

$y^{2}+2Axy+Bx^{2}+2Cx=0,\qquad$(2)

où $A,B,C$ seront des quantités indéterminées.

Deux lignes du second ordre pouvant, en général, se couper en quatre points, et un point de contact étant la réunion en un seul de deux points d’intersection ; il s’ensuit que les courbes (1) et (2), outre leur point commun à l’origine, doivent en avoir encore deux autres, réels ou imaginaires. Cherchons l’équation de la droite qui joint ces deux derniers.