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En réfléchissant sur ce sujet, il nous a paru que l’intégrale d’une telle équation pouvait être directement obtenue par un autre procédé assez simple, et qui a sur celui de M. Bouvier l’avantage d’être parfaitement analogue à celui qu’on emploie dans l’intégration des équations linéaires d’ordres plus élevés. Voici à quoi il se réduit :

Soit la proposée

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}+Py=Q.$

Posons

$y=e^{\int t\operatorname {d} x}\,;$

$t$ étant une fonction inconnue de $x$. Il en résultera

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=t.e^{\int t\operatorname {d} x},$

ce qui donnera, en substituant dans la proposée,

$e^{\int t\operatorname {d} x}(t+P)=Q,$

et par conséquent

$t={\frac {Q}{e^{\int t\operatorname {d} x}}}-P={\frac {Q}{y}}-P\,;$

puis, en multipliant par $\operatorname {d} x$ et intégrant

$\int t\operatorname {d} x=\int {\frac {Q\operatorname {d} x}{y}}-\int P\operatorname {d} x,$

donc