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ner une tangente à cette caustique par un de ses points, lorsqu’elle est déjà tracée. En joignant, en effet, ce point au point fixe par une droite, et menant un rayon parallèle à cette droite, l’extrémité de ce rayon sera un second point de la tangente demandée.

Passons présentement à la recherche de l’équation de la caustique. En quarrant les deux membres de l’équation (6), et ajoutant ensuite l’unité à chaque membre, il vient

${\frac {9y^{2}+(3x-r)^{2}}{(3x-r)^{2}}}={\frac {x'^{2}+y'^{2}}{x'^{2}}}={\frac {r^{2}}{x'^{2}}}\,;$

On tire de là

$x'={\frac {\pm r(3x-r)}{\sqrt {9y^{2}+(3x-r)^{2}}}}\,;$

valeur qui, substituée dans (4), donne, en réduisant,

$\left\{9\left(x^{2}+y^{2}\right)-r^{2}\right\}^{2}=4r^{2}\left\{9y^{2}+(3x-r)^{2}\right\}\,;\qquad$(7)

équation de la caustique demandée.

On voit que cette courbe est une ligne du quatrième ordre symétrique par rapport à l’axe des $x$ ; et, en discutant son équation, on s’assurera qu’elle a un point de rebroussement, lequel n’est autre chose que le point fixe dont il a été question ci-dessus ; que de ce point partent deux branches, intérieures au cercle réfléchissant, qui vont se réunir au point rayonnant, où la caustique a un contact du second ordre avec ce cercle.

Cherchons le rapport métrique entre la longueur du rayon incident terminé au cercle réfléchissant et le rayon réfléchi terminé à la caustique. En désignant respectivement par $P$ et $P'$ ces deux rayons, nous aurons

$P={\sqrt {(x'+r)^{2}+y'^{2}}},\qquad P'={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}}$

en mettant dans ces formules pour $x'^{2}+y'^{2}$ sa valeur $r^{2}$ et met-