Les différentielles de ces deux équations sont
![{\displaystyle t\operatorname {d} t+u\operatorname {d} u=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac7f78281dd7b9d703c31fe2ab6cbf6ae2bdeaa)
![{\displaystyle {\frac {\left\{(x-t)^{2}+(y-u)^{2}\right\}(y\operatorname {d} t-x\operatorname {d} u)-(yt-xu)\left\{(x-t)\operatorname {d} t+(y-u)\operatorname {d} u\right\}}{\lambda \left\{(x-t)^{2}+(y-u)^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f79d5c82a13da7b8e54571f1ecf488a7bb482f30)
![{\displaystyle {\frac {\left\{(x'-t)^{2}+(y'-u)^{2}\right\}(y'\operatorname {d} t-x'\operatorname {d} u)-(y't-x'u)\left\{(x'-t)\operatorname {d} t+(y'-u)\operatorname {d} u\right\}}{\lambda '\left\{(x'-t)^{2}+(y'-u)^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcba168e88995f8af8585374c4968f6de3320e38)
Multipliant la dernière par
remplaçant à mesure
par sa valeur
que donne la première, et divisant enfin par
il viendra
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {(xt+yu)\left\{(x-t)^{2}+(y-u)^{2}\right\}-(yt-xu)^{2}}{\lambda \left\{(x-t)^{2}+(y-u)^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}\\\\=&{\frac {(x't+y'u)\left\{(x'-t)^{2}+(y'-u)^{2}\right\}-(y't-x'u)^{2}}{\lambda '\left\{(x'-t)^{2}+(y'-u)^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fde41b3a61ee27c63556722ad9202b433b48f120)
(3)
de sorte que l’équation en
et
de la caustique cherchée sera le résultat de l’élimination de
et
entre les équations (1), (2), (3).
Il suit de là que, pour un point d’incidence donné
l’équation (3) est l’équation en
et
d’une courbe qui coupe le rayon réfracté en son point de contact avec la caustique. Or, lorsqu’un point est ainsi donné par l’intersection de deux lignes dont on a les équations, il l’est également par les intersections de toutes autres lignes dont les équations seraient des combinaisons quelconques de celles-là ; d’où il suit que, dans la recherche qui nous occupe, nous pourrons remplacer l’une ou l’autre des équations (2) et (3) par de semblables combinaisons.
Mais puisque, pour parvenir à notre but, il faut éliminer
et
entre elles, au moyen de l’équation (1), nous devons princi-