palement nous attacher à profiter de cette dernière équation pour rabaisser le degré des deux autres par rapport à ces deux paramètres. On a d’abord, en vertu de l’équation (1),
![{\displaystyle (x-t)^{2}+(y-u)^{2}=x^{2}+y^{2}+t^{2}+u^{2}-2(xt+yu)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7a31fd2371c40b8895f2aa386c490a7f13570a2)
![{\displaystyle =\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)-2(xt+yu),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd3afdf6132e02fca79f4d9e947fa99eeb441a94)
![{\displaystyle (x'-t)^{2}+(y'-u)^{2}=x'^{2}+y'^{2}+t^{2}+u^{2}-2(x't+y'u)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0011e3a3dcad85fb1fa2bc29809f331a91428536)
![{\displaystyle =\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)-2(x't+y'u).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/add5c4ed82dd976aaa004ed6669ddde5a1d9d113)
On a ensuite, identiquement et par l’équation (1),
![{\displaystyle (yt-xu)^{2}=\left(t^{2}+u^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)-(xt+yu)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d72444e52ccfca2044c4ce25080d985e8569d4d)
![{\displaystyle =r^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)-(xt+yu)^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6456e60a5cc29d0ea39f68fc84fceaf95889b8b)
![{\displaystyle (y't-x'u)^{2}=\left(t^{2}+u^{2}\right)\left(x'^{2}+y'^{2}\right)-(x't+y'u)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34077d89a00413b2f65da8219659e245e30b11db)
![{\displaystyle =r^{2}\left(x'^{2}+y'^{2}\right)-(x't+y'u)^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bfed5d5f1e08b42584d61dd59ebc4ba20d62db03)
au moyen de quoi les équations (2) et (3) deviennent, en quarrant la première,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {r^{2}(x^{2}+y^{2})-(xt+yu)^{2}}{\lambda ^{2}\left\{\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)-2(xt+yu)\right\}}}\\\\=&{\frac {r^{2}(x'^{2}+y'^{2})-(x't+y'u)^{2}}{\lambda '^{2}\left\{\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)-2(x't+y'u)\right\}}},\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/125a60b0275690b23cdd7efa47723537d3ec6b62)
(4)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)(xt+yu)-(xt+yu)^{2}-r^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)}{\lambda ^{2}\left\{\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)-2(xt+yu)\right\}^{\frac {3}{2}}}}\\\\=&{\frac {\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)(x't+y'u)-(x't+y'u)^{2}-r^{2}\left(x'^{2}+y'^{2}\right)}{\lambda '^{2}\left\{\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)-2(x't+y'u)\right\}^{\frac {3}{2}}}}\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70bebb0dac7879153d894c8238f27b90ebbf178a)
(5)
Si nous posons présentement
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)-2(xt+yu)}}&=z,\\\\{\sqrt {\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)-2(x't+y'u)}}&=z'\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6738085053c33a9648b4d78caf9ece2fcfec584e)
et
seront les longueurs des rayons réfracté et incident, comptées