sa tangente soit nulle, ce qui donnera, toutes réductions faites,
![{\displaystyle \left(1+2m'\operatorname {Cos} .\gamma +m'^{2}\right)\operatorname {d} m=+\left(1+2m'\operatorname {Cos} .\gamma +m^{2}\right)\operatorname {d} m',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b8568e3ef24e3d6463aa70d9842db737f002815)
mais, en différentiant l’équation (24) on a
![{\displaystyle (Bm+C)\operatorname {d} m'=-(Bm'+C)\operatorname {d} m\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee8d572bc6bf5242c588bbe8eb3460eec7a3aa97)
d’où, en multipliant et réduisant
![{\displaystyle (Bm+C)\left(1+2m'\operatorname {Cos} .\gamma +m'^{2}\right)+(Bm'+C)\left(1+2m\operatorname {Cos} .\gamma +m^{2}\right)=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48c4c83e97a26a9cf1b599c10d46db8c4bc97a10)
ou bien en développant
![{\displaystyle \left\{B(m+m')-2(C-2B\operatorname {Cos} .\gamma )\right\}mm'+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f85c3d4f0953f9d039bc31f12e552b6d1753698)
![{\displaystyle \left\{C(m+m')^{2}+(B+C\operatorname {Cos} .\gamma )(m+m')+2C\right\}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0fc03e0a0b0bf5abb9107ee121494632b82cebd)
(27)
Mais l’équation (24) donne
![{\displaystyle mm'=-{\frac {C(m+m')+A}{B}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4e16340f486e7a8c42b0a28f94a9d433f881743)
(28)
qui, substitué dans (27), donne
![{\displaystyle m+m'=-2.{\frac {C(A+B)-2AB\operatorname {Cos} .\gamma }{2C^{2}-B(A-B)-2BC\operatorname {Cos} .\gamma }}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d4477134bfb84d31b4a286f461fda948ab71cf0)
(29)
cette valeur, substituée à son tour dans (28), donne
![{\displaystyle mm'={\frac {2C^{2}+A(A-B)-2AC\operatorname {Cos} .\gamma }{2C^{2}-B(A-B)-2BC\operatorname {Cos} .\gamma }}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f93c126d21cc099a432961a706db4b0fe7e46c)
(30)
de sorte que
et
sont racines d’une même équation du second degré, comme on pouvait bien s’y attendre.
En retranchant du quarré de la valeur de
le quadruple de celle de
et extrayant la racine quarrée du résultat, il vient