![{\displaystyle m-m'=2.{\frac {\sqrt {\left(AB-C^{2}\right)\left\{(A+B-2C\operatorname {Cos} .\gamma )^{2}-4\left(AB-C^{2}\right)\operatorname {Sin} .^{2}\gamma \right\}}}{2C^{2}-B(A-B)-2BC\operatorname {Cos} .\gamma }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d06e07bdba977cf6e0384644fd93dbbeccfab863)
on trouve ensuite
![{\displaystyle 1+(m+m')\operatorname {Cos} .\gamma +mm'={\frac {(A+B-2C\operatorname {Cos} .\gamma )^{2}-4\left(AB-C^{2}\right)\operatorname {Sin} .^{2}\gamma }{2C^{2}-B(A-B)-2BC\operatorname {Cos} .\gamma }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d61d59342965682ae00d096a2fa00e382990fb8)
ces valeurs étant substituées dans la formule (26), elle deviendra
![{\displaystyle \operatorname {Tang} .\theta ={\sqrt {\frac {4\left(AB-C^{2}\right)\operatorname {Sin} .^{2}\gamma }{(A+B-2C\operatorname {Cos} .\gamma )^{2}-4\left(AB-C^{2}\right)\operatorname {Sin} .^{2}\gamma }}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ad388cf1a18055aacd1519dd53a10ed518c7e65)
d’où
![{\displaystyle \operatorname {Sin} .\theta =2\operatorname {Sin} .\gamma .{\frac {\sqrt {AB-C^{2}}}{A+B-2C\operatorname {Cos} .\gamma }}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bca9efb7052d1a2c6adc7b2d15cd66ec4818a9f1)
(31)
Tel est donc, pour chaque valeur de l’indéterminée
l’angle des diamètres conjugués égaux.
Or, soient
et
les deux diamètres principaux d’une ellipse et
l’angle de ses diamètres conjugués, on aura, comme l’on sait,
d’où l’on voit que l’angle
approchera d’autant plus d’un angle droit, que les deux diamètres
et
approcheront le plus d’être égaux et conséquemment d’autant plus que cette ellipse sera plus approchante du cercle. Si donc on veut savoir quelle est, de toutes les ellipses circonscrites à notre quadrilatère, celle qui approche le plus du cercle, il ne s’agira que d’assigner la valeur de
qui, dans la formule (31), rend \operatorname{Sin}.0 maximum, ou sa différentielle nulle.
Égalant donc cette différentielle à zéro, on trouvera
![{\displaystyle 2AB\operatorname {Cos} .\gamma -C(A+B)=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a83ab213697b2a9465b9494e87cd46f154c71e0)
d’où