En considérant
comme la base commune de
et
leurs hauteurs seront proportionnelles à
et
d’où il résulte qu’on aura
![{\displaystyle {\frac {P}{T'}}=2.{\frac {A'S}{A'S'}}=2.{\frac {CS''}{CS'}}=2.{\frac {a''}{a'}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4bc40486d0b691f1bf35109b5adf25d8be469fa)
Par une semblable raison, on aura
![{\displaystyle {\frac {P}{T''}}=2.{\frac {a'}{a}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69ab26920b76b48a3a184dcea50380d767e653b1)
d’où en multipliant, simplifiant, chassant le dénominateur et transposant
![{\displaystyle P^{2}-4T'T''=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1202444bd384d1d3d6ab3347f0492644ecc2584d)
comme nous l’avions annoncé.
THÉORÈME II. Les parallèles aux trois côtés d’un triangle, conduites par un même point pris arbitrairement dans son intérieur, partagent le triangle en trois parallélogrammes
et en trois triangles respectivement opposés
tels qu’on a
![{\displaystyle P^{2}=4T'T'',\qquad P'^{2}=4T''T,\qquad P''^{2}=4TT'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da62ca60b8016bf6b565b530fc402bce7ca6d56)
Démonstration. C’est une conséquence toute naturelle de ce que les systèmes de surfaces
et
et
et
(fig, 3) se trouvent exattement dans le cas des trois surfaces du Théorème I.
Si, entre ces trois équations, on élimine tout à tour deux des trois quantités
il viendra
![{\displaystyle 2TP=P'P'',\quad 2T'P'=P''P,\quad 2T''P''=PP'.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85be710eda6f1c66035057164f77de1f877a8f24)
En divisant ces dernières deux à deux, on parvient à cette double équation