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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

${\begin{aligned}&{\frac {z^{8}-2\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}z^{4}+\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{4}}{\lambda ^{2}z^{6}}}\\\\=&{\frac {z'^{8}-2\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{2}z'^{4}+\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{4}}{\lambda '^{2}z'^{6}}}\end{aligned}}$

ce qui donne, en retranchant,

${\begin{aligned}&{\frac {2\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)z^{6}-3\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}z^{4}+\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{4}}{\lambda ^{2}z^{6}}}\\\\=&{\frac {2\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)z'^{6}-3\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{2}z'^{4}+\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{4}}{\lambda '^{2}z'^{6}}}\end{aligned}}$

Changeant respectivement $z^{2}$ et $z'^{2}$ en $\zeta$ et $\zeta ',$ tant dans l’équation (7) que dans cette dernière, elles deviendront

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {\zeta ^{2}-2\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)\zeta +\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}}{\lambda ^{2}\zeta }}\\\\=&{\frac {\zeta '^{2}-2\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)\zeta '+\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{2}}{\lambda '^{2}\zeta '}},\end{aligned}}\right\}\quad$(9)

$\left.{\begin{aligned}&{\frac {2\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)\zeta ^{3}-3\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}\zeta ^{2}+\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{4}}{\lambda ^{2}\zeta ^{3}}}\\\\=&{\frac {2\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)\zeta '^{3}-3\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{2}\zeta '^{2}+\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{4}}{\lambda '^{2}\zeta '^{3}}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad$(10)

équations qui ne sont plus que des troisième et sixième degrés en $\zeta$ et $\zeta '$. En supposant qu’on parvienne à les résoudre par rapport à ces deux inconnues, on conclura de leurs valeurs, au moyen des équations

${\begin{aligned}2(xt+yu)&=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-\zeta ,\\\\2(x't+y'u)&=\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-\zeta ',\end{aligned}}$