depuis le point d’incidence
jusqu’au point de contact
avec la caustique d’une part et jusqu’au point rayonnant
de l’autre. On en tirera, en quarrant et transposant
![{\displaystyle {\begin{array}{rlr}2(xt+yu)=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)-z^{2},\qquad &(6)\\\\2(x't+y'u)=\left(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}\right)-z'^{2}\,;\qquad &(6')\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb57267e58f158ed829356956054c03cf8d618fa)
substituant ces valeurs dans les équations (4) et (5), après les avoir préalablement multipliées par quatre, elles deviendront, en réduisant,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {z^{4}-2\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)z^{2}+\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}}{\lambda ^{2}z^{2}}}\\\\=&{\frac {z'^{4}-2\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)z'^{2}+\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{2}}{\lambda '^{2}z'^{2}}},\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f8fecf8ad30577b5c1258796faaa7401ad74c85)
(7)
![{\displaystyle {\frac {z^{4}-\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{2}}{\lambda z^{3}}}={\frac {z'^{4}-\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{2}}{\lambda 'z'^{3}}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61a54fea031775dc824be08b66b9a4fe2ce03bc6)
(8)
Si l’on parvient à tirer de ces équations les valeurs de
et
on en conclura facilement, au moyen des équations (6) et (6’), celles de
et
, dont la substitution dans l’équation (1) conduira à l’équation en
et
de la caustique cherchée.
Ces équations sont des sixième et septième degrés, par rapport à
et
; mais il est aisé d’en déduire d’autres d’un degré moins élevé. D’abord l’équation (7) peut être écrite comme il suit :
![{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {z^{8}-2\left(x^{2}+y^{2}+r^{2}\right)z^{6}+\left(x^{2}+y^{2}-r^{2}\right)^{4}}{\lambda ^{2}z^{6}}}\\\\=&{\frac {z'^{8}-2\left(x'^{2}+y'^{2}+r^{2}\right)z'^{6}+\left(x'^{2}+y'^{2}-r^{2}\right)^{2}z'^{4}}{\lambda '^{2}z'^{6}}}\,;\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69f5bbe33b2b42a708a0700ccf7e01c44842770c)
mais, en quarrant l’équation (8), elte devient