Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1827-1828, Tome 18.djvu/218

Ces dernières valeurs et les valeurs (9), substituées dans les équations (5) et (6), donnent finalement

${\begin{aligned}P&=6\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right),\\\\(pp')&=3\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}+{\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}\right),\\\\(pp'')&=3\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}+{\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}\right),\\\\(pp''')&=3\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}+{\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}\right).\end{aligned}}$

Il est clair présentement que, ce que nous avons dît du parallélipîpède $P,$ nous aurions pu le dire également des parallélipipèdes $P',P'',P''',$ de sorte que les relations demandées entre les quinze parties du tétraèdre proposé sont les dix suivantes :

$\left.{\begin{aligned}P&=6\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right),\\\\P'&=6\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left({\sqrt[{3}]{\Delta +T}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right),\\\\P''&=6\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right),\\\\P'''&=6\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\left({\sqrt[{3}]{\Delta +T'}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\times \\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left({\sqrt[{3}]{\Delta +T''}}-{\sqrt[{3}]{\Delta }}\right)\,;\end{aligned}}\right\}$ (I)