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$a\left(y^{2}+z^{2}-2kx\right)+k^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)=0\,;$

puis, en supposant $a$ infini,

$y^{2}=2kx,\qquad y^{2}+z^{2}=2kx\,;$

d’où résulte ce curieux théorème : Le lieu du sommet d’un angle trièdre tri-rectangle mobile, dont les côtés s’appuyent constamment sur une parabole donnée, est la surface engendrée par la révolution de cette même parabole autour de son grand axe.

On peut, d’après ce qui précède, établir le théorème suivant, sur lequel nous reviendrons plus loin :

THÉORÈME II. Lorsqu’un angle trièdre tri-rectangle se meut dans l’espace, de telle sorte que ses trois arêtes s’appuyent constamment sur une même courbe plane ; 1.^o si cette courbe est une ellipse, le lieu du sommet de l’angle trièdre sera un ellipsoïde, dont cette ellipse sera la plus grande section principale ; 2.^o si la courbe est une hyperbole équilatère, ce lieu sera un cylindre hyperbolique qui aura pour base cette hyperbole elle-même ; 3.^o enfin, si la courbe est une parabole, ce lieu sera une paraboloïde de révolution, dont cette même parabole sera un méridien.

PROBLÈME III. Quel est le lieu du sommet d’un angle trièdre tri-rectangle mobile, dont les faces touchent constamment le périmètre d’une courbe plane du second ordre ?

Solution. Conservons toutes les notations du précèdent problème, et faisans $v=0$ dans les équations (23) ; elles deviendront

${\begin{aligned}&b^{2}(\alpha +pt+qu)^{2}+a^{2}(\beta +p't+q'u)^{2}=a^{2}b^{2},\\\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \gamma +p''t+q''u=0\,;\end{aligned}}$