Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/106

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on pourra faire passer une infinité d’autres courbes du m.ième degré, lesquelles seront les autres courbes de la série dont il s’agit, puisqu’elles passeront par les points donnés ; donc toutes ces courbes passent aussi par les points restans ; en invoquant donc le principe de dualité on aura ces deux théorèmes :

THÉORÈME I. Toutes les courbes du m.ième degré qui passent par les mêmes points fixes, se coupent en outre aux autres mêmes points fixes.

THÉORÈME I. Toutes les courbes de m.ième classe qui touchent les mêmes droites fixes, touchent en outre les autres mêmes droites fixes.

Ainsi, par exemple, toutes les courbes du troisième degré qui passent par les huit mêmes points fixes, se coupent en outre en un neuvième même point fixe. De même encore, toutes les courbes du quatrième degré qui passent par les treize mêmes points fixes, se coupent toutes en outre en trois autres mêmes points fixes, et ainsi du reste.

Ainsi, par exemple, toutes les courbes de troisième classe qui touchent les huit mêmes droites fixes, touchent en outre une neuvième même droite fixe. De même encore, toutes les courbes de quatrième classe qui touchent les treize mêmes droites fixes, touchent en outre les trois autres mêmes droites fixes, et ainsi du reste.

Rien n’empêche d’admettre, dans le théorème qui précède, que tous ou partie des points fixes donnés se confondent par groupes plus ou moins nombreux en un point unique, auquel cas les courbes dont il s’agit auront en ces points des contacts d’ordres plus, ou moins élevés.