Ainsi, par exemple, au lieu de considérer toutes les courbes du troisième degré qui passent par les huit mêmes points fixes, on peut considérer toutes celles qui, passant par les deux mêmes points fixes, ont entre elles, en chacun de ces points, un contact de quatre points on du troisième ordre ; et l’on verra, en vertu du théorème, qu’elles doivent se couper toutes en un troisième point.
Nous n’avons comparé, dans ce qui précède, que des courbes exprimées par des équations complètes dans lesquelles tous les coefficiens étaient supposés indéterminés ; mais en assujétissant ces courbes à certaines conditions, nous pourrons rabaisser, à volonté, le nombre des constantes arbitraires de leur équation commune, Nous pourrons, par exemple, regarder comme donnés, un certain nombre de ces coefficiens pour toutes les courbes que nous comparons, ou bien supposer qu’il existe entre tous ou partie d’entre eux on certain nombre d’équations de condition. Ces considérations conduisent au théorème suivant plus général que celui que nous avions d’abord établi :
THÉORÈME II. Étant donnés n coefficiens de l’équation générale du m.ième degré à deux indéterminées, ou encore étant données n équations linéaires entre tous ou partie de ces coefficiens ; toutes les courbes représentées par l’équation générale, ainsi modifiée et passant par les mêmes points fixes donnés, se couperont en outre aux autres mêmes points fixes.
Il est évident que, dans l’application de ce théorème, on ne doit pas supposer
Notre théorème, sous sa première forme, ne saurait s’appliquer qu’aux courbes des degrés supérieurs au second ; mais, sous la seconde,
