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Cette courbe est ce que nous avons appelé (Annales, tom. xviii, pag. 253) la courbe polaire du point dont il s’agit, par rapport à la courbe directrice proposée.

Cette courbe est ce que nous avons appelé (Annales, tom. xviii, pag. 253) la courbe polaire de la droite dont il s’agit, par rapport à la courbe directrice proposée.

Si le point de départ $(a,b)$ des tangentes est mobile sur une droite ayant pour équation $y=\alpha x,$ on devra avoir $b\alpha a,$ ce qui changera l’équation (6) en celle-ci :

x{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}-mM=a\left({\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}\right).\qquad

(7)

Si, dans cette équation, on considère $a$ comme un paramètre variable, cette équation ne pourra être satisfaite que par les systèmes de valeurs qui satisferont à la fois aux deux suivantes :

x{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}=mM,\qquad {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}+\alpha {\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}=0\,;\qquad

(8)

lesquelles expriment deux courbes du (m-1).^ième degré, qui se coupent en $(m-1)^{2}$ points seulement ; or, comme l’origine est quelconque, la droite donnée par l’équation $y=\alpha x$ est une droite quelconque ; de sorte qu’en invoquant la théorie des polaires réciproques on aura ces deux théorèmes :

	THÉORÈME II. les courbes polaires de tous les points d’une droite indéfinie, relatives à une directrice quelconque du m.^ième degré, se coupent toutes aux $\mathrm {(m-2)} ^{2}$ mêmes points fixes.			THÉORÈME II. Les courbes polaires de toutes les droites qui passent par un même point fixe, relatives à une directrice quelconque de m.^ième classe, touchent toutes les $\mathrm {(m-1)} ^{2}$ mêmes droites fixes.
	Ces points sont, ce que nous avons appelé (Annales, tom.			Ces droites sont, ce que nous avons appelé (Annales, tom.