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système de $m$ plans passant par l’origine ; et conséquemment les surfaces comprises dans l’équation (9) auront $m$ plans cordes communs, issus d’un même point ; or, à cause de l’homogénéité de $M'',$ on a identiquement

$x{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} z}}=mM''\,;$

au moyen de quoi l’équation (ro), de la surface polaire de l’origine, se réduit simplement à

$x{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} x}}+y{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} y}}+z{\frac {\operatorname {d} M'}{\operatorname {d} z}}=mM'\,;$

de sorte que cette surface polaire est alors indépendante de la constante arbitraire $\lambda \,;$ on a donc ces deux théorèmes :

THÉORÈME VI. Si tant de surfaces du m.ième degré qu’on voudra se coupent toutes suivant les $m$ mêmes courbes planes du m.ième degré, dont les plans passent tous par un même point ; ce point n’aura qu’une surface polaire unique par rapport à toutes les surfaces proposées ; laquelle surface polaire contiendra conséquemment les courbes de contact de toutes les surfaces coniques circonscrites, ayant leur sommet en ce même point.

THÉORÈME VI. Si tant de surfaces de m.ième classe qu’on voudra sont toutes inscrites aux $m$ mêmes surfaces coniques de m.ième classe, ayant leurs sommets dans un même plan ; ce plan n’aura qu’une surface polaire unique, par rapport à toutes les surfaces proposées ; laquelle surface polaire sera conséquemment inscrite à toutes les surfaces développables circonscristes à ces surfaces, suivant leurs intersections avec ce même plan.

En supposant, en particulier, $m=2,$ on déduira de là ces deux propositions connues :

Tant de surfaces du second ordre qu’on voudra se coupant

Tant de surfaces du second ordre qu’on voudra étant inscri-