![{\displaystyle \mathrm {C_{3}C_{5}=C_{3}C_{4}-C_{4}C_{5}} ={\frac {H}{16}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6cfaac1cda7d4c148886ee559da1cef6c658d6e6)
![{\displaystyle \mathrm {C_{5}C_{7}=C_{5}C_{6}-C_{6}C_{7}} ={\frac {H}{64}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d86730552c48efd95521d92623bbaf643ec583a9)
. . . . . . . . . . . . . . .
ou
![{\displaystyle \mathrm {C_{1}P} ={\frac {H}{3}}=\mathrm {C_{1}C_{3}+C_{3}C_{5}+C_{5}C_{7}+C_{7}C_{9}} +\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f999eebc7ed306cdc103fb578bb7532bf435a20)
donc, en subtituant
![{\displaystyle {\frac {H}{3}}={\frac {H}{4}}+{\frac {H}{16}}+{\frac {H}{64}}+{\frac {H}{256}}+{\frac {H}{1024}}+\ldots \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bcbfbe91e0501085365d54456b132e397b69924)
(1)
Cela posé, soit
un tétraèdre quelconque dont la base soit
et la hauteur
on sait (voy. Euclide ou M. Legendre) qu’il peut être décomposé en deux prismes triangulaires équivalens et en deux tétraèdres égaux ; que chacun de ces prismes triangulaires a pour mesure
de sorte que le volume total des deux est
Si donc on représente par
chacun des tétraèdres qui, avec eux, forment le tétraèdre donné, on aura
![{\displaystyle T=B\times {\frac {H}{4}}+2T_{1}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9c4e6c0eef763f8d72bec312646155600950aba)
Si l’on désigne respectivement par
et
la base et la hauteur de chacun des tétraèdres
et qu’on les décompose de la même manière, en désignant par
chacun des deux tétraèdres qui résultent de la décomposition de chacun d’eux, on aura de même
![{\displaystyle T_{1}=B_{1}\times {\frac {H_{1}}{4}}+2T_{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e10ee8bed04b79a320f2bbef44ddd0da70f3ed0f)
et ainsi de suite ; de sorte qu’on pourra écrire indéfiniment