Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/159

${\begin{aligned}&T=B\times {\frac {H}{4}}+2T_{1},\\\\&T_{1}=B_{1}\times {\frac {H_{1}}{4}}+2T_{2},\\\\&T_{2}=B_{2}\times {\frac {H_{2}}{4}}+2T_{3},\\\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$

En prenant la somme des produits respectifs de ces équations par $1{,}2,4{,}8,\ldots$ et réduisant, il viendra

$T=B\times {\frac {H}{4}}+2B_{1}\times {\frac {H_{1}}{4}}+4B_{2}\times {\frac {H_{2}}{4}}+8B_{3}\times {\frac {H_{3}}{4}}+\ldots ,$

ou bien

$T=B\times {\frac {H}{4}}+4B_{1}\times {\frac {H_{1}}{8}}+16B_{2}\times {\frac {H_{2}}{16}}+64B_{3}\times {\frac {H_{3}}{32}}+\ldots ,$

mais on a

$B=4B_{1}=16B_{2}=64B_{3}=\ldots \,;$

donc

$T=B.\left({\frac {H}{4}}+{\frac {H_{1}}{8}}+{\frac {H_{2}}{16}}+{\frac {H_{3}}{32}}+{\frac {H_{4}}{64}}+\ldots \right)\,;$

et comme on a d’ailleurs

$H_{1}={\frac {H}{2}},\quad H_{2}={\frac {H}{4}},\quad H_{3}={\frac {H}{8}},\quad H_{4}={\frac {H}{16}},\ldots$

il viendra, en substituant,

$T=B.\left({\frac {H}{4}}+{\frac {H}{16}}+{\frac {H}{64}}+{\frac {H}{256}}+{\frac {H}{1024}}+\ldots \right),$

c’est-à-dire (1)