Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/160

$T=B\times {\frac {H}{3}}\,;$

on obtiendra donc le volume d’un tétraèdre en multipliant l’aire de sa base par le tiers de sa hauteur.

De la même manière qu’au, moyeti du triangle nous venons de démontrer que

${\frac {H}{3}}={\frac {H}{4}}+{\frac {H}{16}}+{\frac {H}{64}}+{\frac {H}{256}}+\ldots \,;$

on démontrera, à l’aide du tétraèdre, que

${\frac {H}{8}}={\frac {H}{9}}+{\frac {H}{81}}+{\frac {H}{729}}+{\frac {H}{6561}}+\ldots$

Il a été démontré, à la pag. 250 du précédent volume, que le volume d’un tétraèdre est le sixième du produit de deux arêtes opposées, du sinus tabulaire de l’angle qu’elles forment entre elles et de leur perpendiculaire commune.

M. Martinelli, cadet au corps-royal des Pontonniers à Modène, qui ne connaît pas sans doute la démonstration que nous rappelons ici, nous en a récemment adressé une qui, pour le fond, revient à celle-là ; mais il nous en a en même temps communiqué une autre qui lui a été suggérée par M. le professeur Tramontini, et qui, à raison de son élégante simplicité, nous a paru ne devoir pas être passée sous silence. La voici :

On sait que deux arêtes opposées d’un tétraèdre sont toujours comprises dans deux plans parallèles, dont la distance est égale à la perpendiculaire commune entre ces deux droites.

Soit donc $\mathrm {ABCD}$ le tétraèdre dont il s’agit. Par les arêtes opposées $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {CD}$ conduisons deux plans parallèles, et supposons que le premier de ces plans soit le plan même de la figure. Soit $\mathrm {C'D'}$ la projection de $\mathrm {CD}$ sur ce plan, si $\mathrm {PQ}$ est la perpendiculaire commune