deviendrait indéterminé, c’est-à-dire qu’il pourrait être résolu par une infinité de cercles se succédant les uns aux autres sans interruption ; les centres de tous ces cercles seraient donc sur une certaine courbe. À chaque sommet du triangle répondrait une semblable courbe, et les courbes, répondant aux trois sommets, se couperaient aux centres des cercles qui résoudraient le problème. Voyons donc quelle est la nature de ces courbes.
Soient deux des côtés du triangle donné et l’angle compris ; prenons ces deux côtés pour axes des et des , et cherchons sur quelle courbe se trouvent situés les centres de tous les cercles qui interceptent, sur ces mêmes côtés, des longueurs données et
Soit l’un de ces centres ; les perpendiculaires abaissées de ce point sur les deux côtés seront respectivement et leurs pieds tomberont sur les milieux des cordes et de sorte qu’en ajoutant respectivement et aux carrés des longueurs de ces perpendiculaires, on sura deux expressions du carré du rayon du cercle qu’on pourra égaler entre elles ; ce qui donnera
c’est-à-dire,
telle est donc l’équation du lieu des centres de tous les cercles qui interceptent sur les deux côtés de l’angle du triangle donné, des longueurs respectivement égales à et
On reconnaît cette équation pour celle d’une hyperbole dont les asymptotes divisent en deux parties égales les quatre angles que forment les directions des côtés et ces asymptotes sont donc rectangulaires, et conséquemment l’hyperbole est équilatère ; elle passe
