![{\displaystyle \alpha \beta \gamma =r(\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta )\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edbe4b323905497da7b884d9ca7cf11a9ac4067d)
(15)
en substituant donc, on aura
![{\displaystyle bc+ca+ab=\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta +\alpha r+\beta r+\gamma r,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da2a7e8a53e401a3400e46a0a09db9aff6ca2a37)
(16)
c’est-à-dire, la somme des produits, deux à deux, des rayons des quatre cercles qui touchent à la fois les trois côtés d’un triangle, est égale à la somme des produits, deux à deux, de ces trois côtés.
Les mêmes équations (5) donnent
![{\displaystyle a+b+c={\frac {3\alpha \beta \gamma -2(\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta )r}{\alpha \beta \gamma r}}T\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a4448e1c09a7ff1cbbfdc12a8d41b9a3624f5c6)
ou, en vertu des équations (3) et (15)
![{\displaystyle a+b+c={\frac {r(\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta )+\alpha \beta \gamma }{T}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0be53028a918e7e93b80d8a44906acfaf3197c95)
et par conséquent
![{\displaystyle \alpha \beta \gamma +\beta \gamma r+\gamma \alpha r+\alpha \beta r=T(a+b+c)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60f998a79a2df7f5b0c6275808ec9aed945f1f50)
(17)
c’est-à-dire, la somme des produits, trois à trois, des rayons des quatre cercles qui touchent les trois côtés d’un triangle, est égale à l’aire du triangle, multipliée par son périmètre.
L’équation (8) donne, en développant,
![{\displaystyle R={\frac {\alpha \beta \gamma -(\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta )r+(\alpha +\beta +\gamma )r^{2}-r^{3}}{4r^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea751a63ec2205e4bed1de5bcda876cead65153d)
ou, en réduisant, au moyen de l’équation (15),
![{\displaystyle R={\frac {1}{4}}(\alpha +\beta +\gamma -r)\,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da4308e755ede194277055fc126c453ca6c3d65a)
(18)
c’est l’élégant théorème de M. Bobillier.