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Si l’on pose $a+b+c=2s,$ en quarrant les équations (1) et ayant égard à l’équation (3), on aura s^2=\frac{\alpha\beta\gamma}{r},\quad

$(s-a)^{2}={\frac {\beta \gamma r}{\alpha }},\quad (s-b)^{2}={\frac {\gamma \alpha r}{\beta }},\quad (s-c)^{2}={\frac {\alpha \beta r}{\gamma }},\quad$(19)

ou, en vertu de l’équation (15),

$\left.{\begin{aligned}s^{2}&=\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta ,\\(s-a)^{2}&=\beta \gamma -r(\beta +\gamma ),\\(s-b)^{2}&=\gamma \alpha -r(\gamma +\alpha ),\\(s-c)^{2}&=\alpha \beta -r(\alpha +\beta ).\end{aligned}}\right\}\quad$(20)

au moyen de quoi les équations (4) deviennent

$T={\frac {\alpha \beta \gamma }{s}}=r{\frac {\beta \gamma }{s-a}}=r{\frac {\gamma \alpha }{s-b}}=r{\frac {\alpha \beta }{s-c}}.\qquad$(21)

Si, au moyen de la première des équations (19), on élimine $r$ des trois autres, elles deviendront

$s-a={\frac {\beta \gamma }{s}},\quad s-b={\frac {\gamma \alpha }{s}},\quad s-c={\frac {\alpha \beta }{s}},$

d’où on tirera

$a={\frac {s^{2}-\beta \gamma }{s}},\quad b={\frac {s^{2}-\gamma \alpha }{s}},\quad c={\frac {s^{2}-\alpha \beta }{s}}\,;$

ou, en y mettant pour $s$ sa valeur donnée par la première des équations (20),

$a={\frac {\alpha (\beta +\gamma )}{\sqrt {\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta }}},\quad b={\frac {\beta (\gamma +\alpha )}{\sqrt {\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta }}},\quad c={\frac {\gamma (\alpha +\beta )}{\sqrt {\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta }}}\,;\quad$(22)

formules qui feront connaître les trois côtés d’un triangle lorsque