Si l’on pose
en quarrant les équations (1) et ayant égard à l’équation (3), on aura
s^2=\frac{\alpha\beta\gamma}{r},\quad
![{\displaystyle (s-a)^{2}={\frac {\beta \gamma r}{\alpha }},\quad (s-b)^{2}={\frac {\gamma \alpha r}{\beta }},\quad (s-c)^{2}={\frac {\alpha \beta r}{\gamma }},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72e8e9ed4b6b938f502b95fda4696a0219b8bdb3)
(19)
ou, en vertu de l’équation (15),
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}s^{2}&=\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta ,\\(s-a)^{2}&=\beta \gamma -r(\beta +\gamma ),\\(s-b)^{2}&=\gamma \alpha -r(\gamma +\alpha ),\\(s-c)^{2}&=\alpha \beta -r(\alpha +\beta ).\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6415fe613e3d06a9e877ad2bcc682b72a9f0baf2)
(20)
au moyen de quoi les équations (4) deviennent
![{\displaystyle T={\frac {\alpha \beta \gamma }{s}}=r{\frac {\beta \gamma }{s-a}}=r{\frac {\gamma \alpha }{s-b}}=r{\frac {\alpha \beta }{s-c}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f59fba2cac92fce21ad8996abf7487a0aca5a332)
(21)
Si, au moyen de la première des équations (19), on élimine
des trois autres, elles deviendront
![{\displaystyle s-a={\frac {\beta \gamma }{s}},\quad s-b={\frac {\gamma \alpha }{s}},\quad s-c={\frac {\alpha \beta }{s}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f869553da60ccd257a33f0296ed543607a2fce9b)
d’où on tirera
![{\displaystyle a={\frac {s^{2}-\beta \gamma }{s}},\quad b={\frac {s^{2}-\gamma \alpha }{s}},\quad c={\frac {s^{2}-\alpha \beta }{s}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef965e4854bea86a24323d3353fdc2be6173a0b)
ou, en y mettant pour
sa valeur donnée par la première des équations (20),
![{\displaystyle a={\frac {\alpha (\beta +\gamma )}{\sqrt {\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta }}},\quad b={\frac {\beta (\gamma +\alpha )}{\sqrt {\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta }}},\quad c={\frac {\gamma (\alpha +\beta )}{\sqrt {\beta \gamma +\gamma \alpha +\alpha \beta }}}\,;\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb70f6730735195663fc37badf540616bc48c9c5)
(22)
formules qui feront connaître les trois côtés d’un triangle lorsque