Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/221

l’on connaîtra les rayons des trois cercles qui lui sont ex-inscrits ; on en tire

${\frac {\alpha (\beta +\gamma )}{a}}={\frac {\beta (\gamma +\gamma )}{b}}={\frac {\gamma (\alpha +\gamma )}{c}}.\qquad$(23)

Si le triangle est rectangle et que $c$ en soit l’hypothénuse, on aura $a^{2}+b^{2}=c^{2},$ c’est-à-dire (22),

$\alpha ^{2}(\beta +\gamma )^{2}+\beta ^{2}(\gamma +\alpha )^{2}=\gamma ^{2}(\alpha +\beta )^{2}$

ou bien, en développant et réduisant

$\alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma =\gamma ^{2},\qquad$(24)

équation qui, comparée à (15), donne, comme l’a trouvé M. Steiner,

$\alpha \beta =\gamma r\,;\qquad$(25)

mettant cette valeur pour $\alpha \beta$ dans (24) et divisant par $\gamma$, on aura encore

$r+\alpha +\beta =\gamma .\qquad$(26)

À l’aide de ces deux dernières équations on peut faire disparaître des divers résultats obtenus deux des quatre rayons ; on trouve ainsi, pour le triangle rectangle,

$\left.{\begin{aligned}&s=\gamma ,\\&a=\alpha +r=\gamma -\beta ,\\&b=\beta +r=\gamma -\alpha ,\\&c=\alpha +\beta =\gamma -r,\\&T=\alpha \beta =\gamma r,\\&R={\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )={\frac {1}{2}}(\gamma -r).\end{aligned}}\right\}\quad$(27)