l’on connaîtra les rayons des trois cercles qui lui sont ex-inscrits ; on en tire
![{\displaystyle {\frac {\alpha (\beta +\gamma )}{a}}={\frac {\beta (\gamma +\gamma )}{b}}={\frac {\gamma (\alpha +\gamma )}{c}}.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2769ed6b9aaf54eba2382540a91a5c405892de83)
(23)
Si le triangle est rectangle et que
en soit l’hypothénuse, on aura
c’est-à-dire (22),
![{\displaystyle \alpha ^{2}(\beta +\gamma )^{2}+\beta ^{2}(\gamma +\alpha )^{2}=\gamma ^{2}(\alpha +\beta )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98cb604df42d7baeb09485441a65d6c391640ceb)
ou bien, en développant et réduisant
![{\displaystyle \alpha \beta +\alpha \gamma +\beta \gamma =\gamma ^{2},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/378bd95779c96cfbdc036e9bb1bdbdd165e595d4)
(24)
équation qui, comparée à (15), donne, comme l’a trouvé M. Steiner,
![{\displaystyle \alpha \beta =\gamma r\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e221231091a0e0028e29291f3949b946e425fa4)
(25)
mettant cette valeur pour
dans (24) et divisant par
, on aura encore
![{\displaystyle r+\alpha +\beta =\gamma .\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55b9a5343bec15698b97ec72d381c1c4fed2402b)
(26)
À l’aide de ces deux dernières équations on peut faire disparaître des divers résultats obtenus deux des quatre rayons ; on trouve ainsi, pour le triangle rectangle,
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&s=\gamma ,\\&a=\alpha +r=\gamma -\beta ,\\&b=\beta +r=\gamma -\alpha ,\\&c=\alpha +\beta =\gamma -r,\\&T=\alpha \beta =\gamma r,\\&R={\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )={\frac {1}{2}}(\gamma -r).\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aa4fba597b6c6d56364123097fd5879376ae974)
(27)