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Soient $D_{r},D_{\alpha },D_{\beta },D_{\gamma },$ les distances du centre du cercle circonscrit aux centres des cercles inscrits et ex-inscrits, on aura, comme l’on sait (Annales, tom. xiv, pag.56),

$\left.{\begin{aligned}&D_{r}^{2}=R^{2}-2Rr,\\&D_{\alpha }^{2}=R^{2}+2R\alpha ,\\&D_{\beta }^{2}=R^{2}+2R\beta ,\\&D_{\gamma }^{2}=R^{2}+2R\gamma .\end{aligned}}\right\}\quad$(28)

En prenant la somme de ces quatre équations, et ayant égard à l’équation (18), il viendra

$D_{r}^{2}+D_{\alpha }^{2}+D_{\beta }^{2}+D_{\gamma }^{2}=12R^{2}\,;\qquad$(29)

c’est-à-dire, la somme des carrés des distances du centre du cercle circonscrit à un triangle aux centres des cercles inscrit et ex-inscrit à ce triangle, est égale à douze fois le carré du rayon de ce cercle circonscrit.

Des mêmes équations (28) on tire encore

$D_{\gamma }^{2}+D_{r}^{2}=2R+2R(\gamma -r),\qquad D_{\alpha }^{2}+D_{\beta }^{2}=2R^{2}+2R(\alpha +\beta )\,;$

mais, si le triangle est rectangle, l’équatom (26) donne

$\gamma -r=\alpha +\beta \,;$

donc alors

$D_{r}^{2}+D_{\gamma }^{2}=D_{\alpha }^{2}+D_{\beta }^{2}\,;$

c’est-à-dire, la somme des carrés des distances du centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle aux centres des cercles exinscrits qui répondent aux deux côtés de l’angle droit, est égale à la somme des carrés des distances de ce même centre, au centre