Soient
les distances du centre du cercle circonscrit aux centres des cercles inscrits et ex-inscrits, on aura, comme l’on sait (Annales, tom. xiv, pag.56),
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&D_{r}^{2}=R^{2}-2Rr,\\&D_{\alpha }^{2}=R^{2}+2R\alpha ,\\&D_{\beta }^{2}=R^{2}+2R\beta ,\\&D_{\gamma }^{2}=R^{2}+2R\gamma .\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04bf2d44bfdc2ce4e7f96adbb9e869ad475bfd45)
(28)
En prenant la somme de ces quatre équations, et ayant égard à l’équation (18), il viendra
![{\displaystyle D_{r}^{2}+D_{\alpha }^{2}+D_{\beta }^{2}+D_{\gamma }^{2}=12R^{2}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d78eab113163e08f6ed67ac488650351f2fbd7be)
(29)
c’est-à-dire, la somme des carrés des distances du centre du cercle circonscrit à un triangle aux centres des cercles inscrit et ex-inscrit à ce triangle, est égale à douze fois le carré du rayon de ce cercle circonscrit.
Des mêmes équations (28) on tire encore
![{\displaystyle D_{\gamma }^{2}+D_{r}^{2}=2R+2R(\gamma -r),\qquad D_{\alpha }^{2}+D_{\beta }^{2}=2R^{2}+2R(\alpha +\beta )\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/321486a7b533360ebaa66ac2651ffac3b5de273c)
mais, si le triangle est rectangle, l’équatom (26) donne
![{\displaystyle \gamma -r=\alpha +\beta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/451e988d9d6a4be8e725fea4fd5b0f811ca9db7b)
donc alors
![{\displaystyle D_{r}^{2}+D_{\gamma }^{2}=D_{\alpha }^{2}+D_{\beta }^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9aab5bdcef0212eb30d2fa6329f20a809fe5246e)
c’est-à-dire, la somme des carrés des distances du centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle aux centres des cercles exinscrits qui répondent aux deux côtés de l’angle droit, est égale à la somme des carrés des distances de ce même centre, au centre