du cerle ex-inscrit qui répond à l’hypothénuse et au centre du cercle inscrit.
Tous ces divers résultats doivent avoir leurs analogues relatifs aux huits sphères qui touchent à la fois les quatre faces d’un tétraèdre ; bornons-nous au cas le plus simple.
Soient
les perpendiculaires abaissées sur les plans des faces
du tétraèdre
des sommets respectivement opposés ; on aura cette quadruple équiation
![{\displaystyle aa'=bb'=cc'=\operatorname {d} '=3T,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2109209356cafb2708287edd09258d5b976a51b4)
de laquelle, tirant les valeurs de
pour les substituer dans les huit équations de la pag. 93, il viendra, en divisant par ![{\displaystyle 3T,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7aad82ee8dc12755f92414f02d381c02ac7a0feb)
![{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{a'}}+{\frac {1}{b'}}+{\frac {1}{c'}}+{\frac {1}{d'}},\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f264a55efee2aa4fd7b765966b408800edd4b89)
(31)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {1}{\alpha }}={\frac {1}{b'}}+{\frac {1}{c'}}+{\frac {1}{d'}}-{\frac {1}{a'}},\\\\&{\frac {1}{\beta }}={\frac {1}{c'}}+{\frac {1}{d'}}+{\frac {1}{a'}}-{\frac {1}{b'}},\\\\&{\frac {1}{\gamma }}={\frac {1}{d'}}+{\frac {1}{a'}}+{\frac {1}{b'}}-{\frac {1}{c'}},\\\\&{\frac {1}{\delta }}={\frac {1}{a'}}+{\frac {1}{b'}}+{\frac {1}{c'}}-{\frac {1}{d'}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6062bfc4cbe858fbdfd26c9f11da983a7926659)
(32)
![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&\pm {\frac {1}{\alpha '}}={\frac {1}{b'}}+{\frac {1}{c'}}-{\frac {1}{a'}}-{\frac {1}{d'}},\\\\&\pm {\frac {1}{\beta '}}={\frac {1}{c'}}+{\frac {1}{a'}}-{\frac {1}{b'}}-{\frac {1}{d'}},\\\\&\pm {\frac {1}{\gamma '}}={\frac {1}{a'}}+{\frac {1}{b'}}-{\frac {1}{c'}}-{\frac {1}{d'}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1ce31535c17bfdd7fdf10de18047435d604eb55)
(33)