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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

au moyen de quoi les équations (16) se changent dans les suivantes :

${\begin{aligned}&-{\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} x^{2}}}=2k^{2}P\left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} x}}\right)^{3},\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} x^{2}}}=2k^{2}Q\left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} x}}\right)^{3},\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} x}}-{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} x^{2}}}=2k^{2}R\left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} x}}\right)^{3}.\end{aligned}}$

Éliminant ${\frac {\operatorname {d} ^{2}t}{\operatorname {d} x^{2}}}$ des deux dernières, au moyen de la première elles deviennent, en divisant par \frac{\operatorname{d}t}{\operatorname{d}x},

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=2k^{2}\left(Q-P{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)\left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}\\\\&{\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}}=2k^{2}\left(R-P{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\right)\left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}\,;\end{aligned}}$

mais, dans l’hypothèse actuelle, l’équation (13) devient

$1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}=\left(w^{2}+4k^{2}u\right)\left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}\,;$

éliminant donc $\left({\frac {\operatorname {d} t}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}$ des deux précédentes, au moyen de cette dernière, on obtiendra, pour les deux équations différentielles de la trajectoire décrite,

$\left.{\begin{aligned}&\left(w^{2}+4k^{2}u\right){\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=2k^{2}\left(Q-P{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}\right\},\\\\&\left(w^{2}+4k^{2}u\right){\frac {\operatorname {d} ^{2}z}{\operatorname {d} x^{2}}}=2k^{2}\left(R-P{\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\right)\left\{1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} z}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}\right\}\,;\end{aligned}}\right\}$ (27)

mais il sera communément plus simple de recourir aux équations (16).

Dans un prochain article, nous nous occuperons proprement du phénomène du mirage.