ANALYSE ALGEBRIQUE.
continues périodiques ;
On sait que si, par la méthode de Lagrange, on développe en fraction continue une des racines d’une équation du second degré, cette fraction continue sera périodique, et qu’il en sera encore de même de l’une des racines d’une équation de degré quelconque, si cette racine est racine d’un facteur rationnel du second degré du premier membre de la proposée, auquel cas cette équation aura, tout au moins, une autre racine qui sera également périodique. Dans l’un et dans l’autre cas, la fraction continue pourra d’ailleurs être immédiatement périodique ou ne l’être pas immédiatement, mais, lorsque cette dernière circonstance aura lieu, il y aura du moins une des transformées dont une des racines sera immédiatement périodique.
Or, lorsqu’une équation a deux racines périodiques, répondant à un même facteur rationnel du second degré, et que l’une d’elles est immédiatement périodique, il existe entre ces deux racines une relation assez singulière qui paraît n’avoir pas encore été remarquée, et qui peut être exprimée par le théorème suivant :
THÉORÈME. Si une des racines d’une équation de degré quelconque est une fraction continue immédiatement périodique, cette équation aura nécessairement une autre racine également périodique
