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GÉOMÉTRIE DE SITUATION.

Théorèmes sur les polaires successives ;

Par M. Bobillier, professeur à l’école des arts et métiers de
Châlons-sur-Marne.

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Soient

$M=0,\quad M_{1}=0,\quad M_{2}=0,\ldots M_{m-n}=0,\ldots M_{n}=0$

les équations d’une suite de courbes des m.^ième, (m-1).^ième, … (m-n).^ième, … n.^ième degrés, dont la première seule soit arbitraire, et dont chacune soit, par rapport à celle qui la précède immédiatement, considérée comme directrice, la courbe polaire d’un point donné $(x',y')\,;$ ces courbes sont ce que nous appelerons les polaires successives de ce point, par rapport à cette directrice, et nous les désignerons sous les dénominations de 1.^ière, 2.^ième, 3.^ième,… (m-n).^ième,… n.^ième polaires du point $(x',y').$

D’après un théorème précédemment démontré (pag. 106), nous aurons

${\begin{aligned}&M_{1}=\qquad mM-{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}(x-x')-{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}(y-y'),\\\\&M_{2}=(m-1)M_{1}-{\frac {\operatorname {d} M_{1}}{\operatorname {d} x}}(x-x')-{\frac {\operatorname {d} M_{1}}{\operatorname {d} y}}(y-y'),\\\\&M_{3}=(m-2)M_{2}-{\frac {\operatorname {d} M_{2}}{\operatorname {d} x}}(x-x')-{\frac {\operatorname {d} M_{2}}{\operatorname {d} y}}(y-y'),\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}$