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$M_{n}=(m-n+1)M_{n-1}-{\frac {\operatorname {d} M_{n-1}}{\operatorname {d} x}}(x-x')-{\frac {\operatorname {d} M_{n-1}}{\operatorname {d} y}}(y-y').$

À l’aide de cette suite d’équations, il nous sera facile, par des différenciations et substitutions successives d’obtenir tour à tour les valeurs de $M_{2},M_{3},\ldots M_{n},$ en fonction de $M,$ en égalant la dernière à zéro, et posant, pour abréger,

$1.2.3\ldots k=k!$

nous trouverons, pour l’équation de la n.^ième polaire du point $(x',y'),$ par rapport à la directrice $M=0,$

$0=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {m!}{n!}}M\\\\-&{\frac {(m-1)!}{(n-1)!}}\left\{{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} x}}{\frac {(x-x')}{1}}+{\frac {\operatorname {d} M}{\operatorname {d} y}}{\frac {(y-y')}{1}}\right\}\\\\+&{\frac {(m-2)!}{(n-2)!}}\left\{{\frac {\operatorname {d} ^{2}M}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {(x-x')^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}M}{\operatorname {d} x\operatorname {d} y}}{\frac {(x-x')}{1}}{\frac {(y-y')}{1}}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {\operatorname {d} ^{2}M}{\operatorname {d} y^{2}}}{\frac {(y-y')^{2}}{1.2}}\right\}\\-&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\pm &{\frac {(m-n)!}{1}}\left\{{\frac {\operatorname {d} ^{n}M}{\operatorname {d} x^{n}}}{\frac {(x-x')^{n}}{n!}}+{\frac {\operatorname {d} ^{n}M}{\operatorname {d} x^{n-1}\operatorname {d} y}}{\frac {(x-x')^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {(y-y')}{1}}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+\ldots +{\frac {\operatorname {d} ^{n}M}{\operatorname {d} y^{n}}}{\frac {(y-y')^{n}}{n!}}\right\}\end{aligned}}\right\}.$

Supposons que le point $(x',y')$ étant indéterminé, on veuille le déterminer de telle sorte que cette polaire passe par un point donné $(x'',y''),$ il faudra pour cela exprimer que l’équation ci-dessus est satisfaite en changeant simultanément $x$ et $y$ en $x''$ et $y''.$ Changeant ensuite respectivement $x'$ et $y'$ en $x$ et $y,$ on trouvera pour l’équation du lieu du point $(x',y')$