Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/310

${\text{(P) }}0=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {m!}{n!}}M''\\\\+&{\frac {(m-1)!}{(n-1)!}}\left\{{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} x''}}{\frac {(x-x'')}{1}}+{\frac {\operatorname {d} M''}{\operatorname {d} y''}}{\frac {(y-y'')}{1}}\right\}\\\\+&{\frac {(m-2)!}{(n-2)!}}\left\{{\frac {\operatorname {d} ^{2}M''}{\operatorname {d} x''^{2}}}{\frac {(x-x'')^{2}}{1.2}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}M''}{\operatorname {d} x''\operatorname {d} y''}}{\frac {(x-x'')}{1}}{\frac {(y-y'')}{1}}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+{\frac {\operatorname {d} ^{2}M''}{\operatorname {d} y''^{2}}}{\frac {(y-y'')^{2}}{1.2}}\right\}\\+&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\+&{\frac {(m-n)!}{1}}\left\{{\frac {\operatorname {d} ^{n}M''}{\operatorname {d} x''^{n}}}{\frac {(x-x'')^{n}}{n!}}+{\frac {\operatorname {d} ^{n}M''}{\operatorname {d} x''^{n-1}\operatorname {d} y''}}{\frac {(x-x'')^{n-1}}{(n-1)!}}{\frac {(y-y'')}{1}}\right.\\&\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \left.+\ldots +{\frac {\operatorname {d} ^{n}M''}{\operatorname {d} y''^{n}}}{\frac {(y-y'')^{n}}{n!}}\right\}\end{aligned}}\right\}$

Si, présentement, on représente généralement par $u_{k}$ une fonction homogène du k.^ième degré en $x$ et $y$, toute courbe du m.^ième degré aura une équation de la forme

$u_{0}+u_{1}+u_{2}+\ldots u_{n}+\ldots u_{m}=0.$

Si l’on cherche les polaires successives de l’origine, par rapport à cette courbe prise pour directrice, au moyen des considérations exposées à la pag. 89 du précédent volume, on trouvera facilement, pour l’équation de la (m-n).^ième polaire,

${\frac {m!}{n!}}u_{0}+{\frac {(m-1)!}{(n-1)!}}u_{1}+{\frac {(m-2)!}{(n-2)!}}u_{2}+\ldots +{\frac {(m-n)!}{1}}u_{n}=0.$

En conséquence, pour obtenir l’équation de la (m-n).^ième polaire d’un point $(x'',y''),$ relativement à la directrice $M=0$, il faudra d’abord transporter l’origine en ce point, en changeant respectivement dans $M,\ x$ et $y$ en $x+x''$ et $y+y'',$ et développer ; puis dans le développemeni multiplier respectivement les termes de $0,1,2,\ldots n$ dimensions par