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${\frac {m!}{n!}},\quad {\frac {(m-1)!}{(n-1)!}}s,\quad {\frac {(m-2)!}{(n-2)!}},\ldots {\frac {(m-n)!}{1}},$

et supprimer tous ceux de dimensions plus élevées ; après quoi, il faudra remplacer respectivement $x$ et $y$ par $x-x''$ et $y-y'',$ afin de retourner à l’origine primitive. Or, il est visible que l’équation résultante ne sera autre chose que l’équation (P) ci-dessus. En invoquant donc le principe de dualité, on obtiendra les deux théorèmes que voici :

THÉORÈME I. Si, par rapport à une même directrice du (p+q).ième degré, on détermine la p.ième polaire d’un point $\mathrm {P}$ et la q.ième polaire d’un point $\mathrm {Q} ,$ et que l’un quelconque de ces deux points ait été choisi sur la polaire de l’autre, ce dernier point se trouvera réciproquement sur la polaire du premier[1].

THÉORÈME I. Si, par rapport à une même directrice de (p+q).ième classe, on détermine la p.ième polaire d’une droite $\mathrm {P}$ et la m.ième polaire d’une droite $\mathrm {Q} ,$ et que l’une quelconque de ces deux droites ait été choisie tangente à la polaire de l’autre, cette dernière droite se trouvera réciproquement tangente à la polaire de la première.

Si l’on fait $p=m-1$ et $q=1,$ on retombe sur le théorème de la pag. 157 du précédent volume, qui n’est ainsi qu’un cas très-particulier de celui-ci.

Au moyen de ces deux théorèmes, on pourra résoudre les deux problèmes que voici :

PROBLÈME I. Trouver, sur le plan d’une directrice donnée du m.ième degré, un point dont la

PROBLÈME I. Trouver, sur le plan d’une directrice donnée de m.ième classe, une droite dont

1. M. Plucker nous a adressé postérieurement, sans démonstration, un théorème tout à fait analogue.
   J. D. G.