Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1828-1829, Tome 19.djvu/324

$A\alpha x+B\beta y=1,\qquad A'\alpha 'x+B'\beta 'y=1\,;\qquad$(2)

et, parce que l’angle est droit, nous aurons en outre

$AA'\alpha \alpha '+BB'\beta \beta '=0\,;\qquad$(3)

et l’on voit que l’équation en $x$ et $y$, résultant de l’élimination de $\alpha ,\beta ,\alpha ',\beta '$ entre ces cinq dernières équations, serait celle de la courbe décrite par le sommet de l’angle mobile.

Soient posés

${\begin{array}{ccr}A\alpha =a,\quad B\beta =b,&\qquad A'\alpha '=a',\quad B'\beta '=b',&(4)\\a^{2}+b^{2}=r^{2},&a'^{2}+b'^{2}=r'^{2}\,;&(5)\\\end{array}}$

les équations (1), (2), (3) deviendront ainsi

${\begin{array}{cr}{\frac {a^{2}}{A}}+{\frac {b^{2}}{B}}=1,\qquad {\frac {a'^{2}}{A'}}+{\frac {b'^{2}}{B'}}=1,&(6)\\\\ax+by=1,\qquad a'x+b'y=1,&(7)\\\\aa'+bb'=0.&(8)\end{array}}$

Les équations (5) et (8) pourront alors être écrites comme il suit :

$\left({\frac {a}{r}}\right)^{2}+\left({\frac {b}{r}}\right)^{2}=1,\qquad \left({\frac {a'}{r'}}\right)^{2}+\left({\frac {b'}{r'}}\right)^{2}=1,$

$\left({\frac {a}{r}}\right)\left({\frac {a'}{r'}}\right)+\left({\frac {b}{r}}\right)\left({\frac {b'}{r'}}\right)=0\,;\quad$(9)

or, il est connu qu’à trois pareilles relations, entre quatre quantités, on peut, comme équivalentes, substituer les trois suivantes^[1] :

1. Soient, en eflFet, deux systèmes de coordonnées rectangulaires, de même origine, et soient $(x,y),(t,u)$ un même point considéré, tour à tour, dans les deux systèmes. Le carré de sa distance à l’origine devant être le même