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équation qui, rendue rationnelle et résolue par rapport à ${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}},$ donne

$2{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=e^{\frac {x}{z}}-e^{-{\frac {x}{z}}}\,;\qquad$(3)

donc

$2{\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=2{\sqrt {1+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}}}=e^{\frac {x}{z}}+e^{-{\frac {x}{z}}}\,;\qquad$(4)

ce qui donne, en intégrant,

$2s=z\left(e^{\frac {x}{z}}+e^{-{\frac {x}{z}}}\right).\qquad$(5)

Ici encore nous n’ajoutons point de constante, parce que $x$ et $s$ doivent être nuls en même temps.

En substituant dans l’équation (2) la valeur de ${\frac {\operatorname {d} s}{\operatorname {d} x}},$ donnée par l’équation (4), elle devient

$2v=z\left(e^{\frac {x}{z}}+e^{-{\frac {x}{z}}}\right).\qquad$(6)

En intégrant ensuite l’équation (3), il vient

$2(y+k)=z\left(e^{\frac {x}{z}}+e^{-{\frac {x}{z}}}\right),$

où $k$ est la constante arbitraire. Remarquant alors que $x$ et $y$ doivent être nuls en même temps, on trouve $k=z,$ et, par suite,