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$2(y+z)=z\left(e^{\frac {x}{z}}+e^{-{\frac {x}{z}}}\right).\qquad$(7)

Au moyen des équations (5), (6), (7), un point $(x,y)$ étant donné sur le plan des axes, on déterminera quelle longueur, doit avoir la chaînette tendue de l’origine à ce point, pour que sa tangente, au premier de ces deux points, se confonde avec l’axe des $x,$ supposé horizontal, et on déterminera, en outre, ses tensions $z$ et $v$ en ces deux points, c’est à-dire les longueurs qu’il faudrait prendre sur un fil uniformément pesant de la même nature, pour que leurs poids fissent équilibre à ces mêmes tensions.

Mais, par une combinaison convenable de ces trois équations, on peut les remplacer par d’autres plus simples ; et d’abord la comparaison des équations (6) et (7) donne sur-le-champ

$v=z+y.\qquad$(8)

En prenant, tour à tour, la demi-somme et la demi-différence des équations (5) et (6), il vient

$v+s=z.e^{\frac {x}{z}},\qquad$(9)

$v-s=z.e^{-{\frac {x}{z}}}\,;$

équations dont la seconde équivaut à la première, pourvu qu’on admette que $s$ change de signe avec $x$. En les multipliant membre à membre, il viendra

$v^{2}-s^{2}=z^{2}.\qquad$(10)

On pourra donc remplacer les équations (5), (6), (7) par les équaions (8), (9), (10), dont une seule est transcendante.