vertical qui passe par la ligne de contact qui répond à l’époque
l’un de ces deux-ci est évidemment
et quant à l’autre, c’est un des angles dièdres obliques de notre angle trièdre rectangle, en le représentant par
on aura
![{\displaystyle \operatorname {Cot} .\varphi \operatorname {Cos} .\xi =\operatorname {Tang} .\alpha ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebfb1e51ae54eff7c6465dfceda8a214f4b9cc86)
d’où
![{\displaystyle \xi =\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\varphi ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3df2cb688feec81465201ce029a70962738dd2ea)
et conséquemment
![{\displaystyle \psi ={\frac {2\varpi t}{T}}+\operatorname {Arc} .(\operatorname {Cos} .=\operatorname {Tang} .\alpha \operatorname {Tang} .\varphi )\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b8a8aedd26942bca775a66ba426a603b7ed277f)
(15)
en joignant à ces équations l’équation (3), c’est-à-dire
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} \theta }{\operatorname {d} t}}-{\frac {2\varpi \operatorname {Sin} .\alpha }{T}}\right)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/82b3ff80cc46140ec8ba8b9d1394fe423ea93da8)
![{\displaystyle =4\varpi ^{2}\left({\frac {1}{\tau }}-{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha }{T}}\right)^{2}+2m\operatorname {Cos} .\alpha \left\{\operatorname {Cos} .\beta -\operatorname {Cos} .\left(\theta -{\frac {2\varpi t\operatorname {Sin} .\alpha }{T}}\right)\right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40a104e42bd089392ca334c6b5bed25643f0326c)
(3)
et éliminant donc
et
entre elle, l’équation résultante en
et
sera l’équation polaire cherchée de la surface conique décrite par le rayon vecteur de la sphère mobile.
En raisonnant uniquement dans l’hypothèse
déjà admise ci-dessus, l’équation (13) donne
![{\displaystyle \theta -{\frac {2\varpi t\operatorname {Sin} .\alpha }{T}}=4\operatorname {Arc} .\left\{\operatorname {Tang} .=e^{t{\sqrt {m\operatorname {Cos} .\alpha }}}.\operatorname {Tang} .{\frac {1}{4}}\beta \right\}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50db5e7535efcdc904b580a879dd2727b9755046)
mais l’équation (14) donne
![{\displaystyle \theta -{\frac {2\varpi t\operatorname {Sin} .\alpha }{T}}=\operatorname {Arc} .\left(\operatorname {Cos} .={\frac {\operatorname {Sin} .\varphi }{\operatorname {Cos} .\alpha }}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69c3865ff03adaed603a636d4a4e47bc5dfb2ba8)