gente tabulaire de l’angle que fait la direction initiale du rayon lumineux avec l’axe des
; alors on devra avoir à la fois,
et
; et puisque nous sommes convenus de faire constamment passer la caractéristique par l’origine, on aura aussi alors
En conséquence l’équation (4) deviendra
![{\displaystyle m^{2}\left(w^{2}-A\right)=A,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e376ea741360703018e5dfbac7f74ba38c857b57)
d’où
![{\displaystyle A={\frac {m^{2}w^{2}}{1+m^{2}}},\qquad w^{2}-A={\frac {w^{2}}{1+m^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ab80bfd4b32f60d7e803e16633c746e2d66a106)
ce qui donnera, en substituant,
![{\displaystyle w^{2}\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}=m^{2}w^{2}+4\left(1+m^{2}\right)k^{2}u\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f681c95c031ec37103ce2ee5b1430b300a38b54e)
posant donc, une fois pour tout, pour abréger
![{\displaystyle {\frac {w}{2k}}=\lambda ,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f52d23aa6261b482e859922d37afe9ad8780d29c)
(5)
cette équation deviendra
![{\displaystyle \lambda ^{2}\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}=\lambda ^{2}m^{2}+\left(1+m^{2}\right)u\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aee41be7dbc8258fec8c1ce03e4963a2c7ea651f)
(6)
ce qui donnera, en différentiant,
![{\displaystyle 2\lambda ^{2}{\frac {\operatorname {d} ^{2}y}{\operatorname {d} x^{2}}}=\left(1+m^{2}\right){\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/579b2f28995f9438624877eb2db5a8daf1f7cd83)
(7)
on tirera d’ailleurs de l’équation (6)
![{\displaystyle \operatorname {d} x={\frac {\lambda \operatorname {d} y}{\sqrt {\lambda ^{2}m^{2}+\left(1+m^{2}\right)u}}}\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/506e059eda17ba1d65d3270c7e8ce0f194cb2a1f)
(8)