Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/9

$k^{2}$ ayant ici la même signification qu’à la pag. 262 du mémoire cité. On pourra d’ailleurs y joindre, comme s’y trouvant implicitement comprise (ibid., pag. 273) l’équation

$\left({\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}+\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=w^{2}+4k^{2}u,\qquad$(3)

dans laquelle $w$ représente toujours la vîtesse de la lumière dans le vide.

v. En multipliant par $2\operatorname {d} y$ la dernière des équations (2) elle dévient

$\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=4k^{2}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}\operatorname {d} y=4k^{2}\operatorname {d} u\,;$

ce qui donne, en intégrant,

$\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} t}}\right)^{2}=A+4k^{2}u\,;$

$A$ étant la constante arbitraire, cela revient à

$\operatorname {d} y^{2}=\left(A+4k^{2}u\right)\operatorname {d} t^{2}\,;$

mais l’équation (3) donne

$\operatorname {d} x^{2}+\operatorname {d} y^{2}=\left(w^{2}+4k^{2}u\right)\operatorname {d} t^{2}\,;$

éliminant donc $\operatorname {d} t^{2}$ entre ces deux équations, nous obtiendrons, pour l’équation différentielle du rayon lumineux,

$\left(w^{2}-A\right)\left({\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\right)^{2}=A+4k^{2}u.\qquad$(4)

Pour faire disparaître la constante $A,$ désignons par $m$ la tan-