Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1829-1830, Tome 20.djvu/130

donc, en changeant le signe de $m$ et remplaçant $X$ par sa valeur,

$\int ^{m}\operatorname {Sin} .x.\operatorname {d} x=\operatorname {Sin} .\left(x-m{\frac {\varpi }{2}}\right).$

Pour la seconde, nous aurons

$X=\operatorname {Cos} .x,\quad {\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}=-\operatorname {Sin} .x,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}}=-\operatorname {Cos} .x,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}X}{\operatorname {d} x^{3}}}=+\operatorname {Sin} .x,$

et, en général,

${\frac {\operatorname {d} ^{m}.X}{\operatorname {d} x^{m}}}=\operatorname {Sin} .\left\{x+(m+1){\frac {\varpi }{2}}\right\}\,;$

donc, en changeant le signe de $m$ et remplaçant $X$ par sa valeur,

$\int ^{m}\operatorname {Cos} .x\operatorname {d} x=\operatorname {Sin} .\left\{x-(m-1){\frac {\varpi }{2}}\right\}.$

En supposant, dans ces deux formules, $m=1,$ elles deviennent

$\int \operatorname {Sin} .x.\operatorname {d} x=-\operatorname {Cos} .x,\qquad \int \operatorname {Cos} .x.\operatorname {d} x=+\operatorname {Sin} .x,$

comme on le savait déjà.

Nous terminerons par un cas plus compliqué, en traitant lesdeux intégrales

$\int a^{x}\operatorname {Sin} .x.\operatorname {d} x,\qquad \int a^{x}\operatorname {Cos} .x.\operatorname {d} x.$

On sait qu’en général, $P$ et $Q$ étant des fonctions de $x$, on a

${\frac {\operatorname {d} ^{m}P.Q}{\operatorname {d} x^{m}}}=P{\frac {\operatorname {d} ^{m}Q}{\operatorname {d} x^{m}}}+{\frac {m}{1}}{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} ^{m-1}Q}{\operatorname {d} x^{m-1}}}+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}{\frac {\operatorname {d} ^{2}P}{\operatorname {d} x^{2}}}{\frac {\operatorname {d} ^{m-2}Q}{\operatorname {d} x^{m-2}}}+\ldots \,;$

mais, en posant $Q=a^{x},$ on a, comme nous l’avons vu ci-dessus, quel que soit $r$,