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$\int x^{r}\operatorname {d} x={\frac {x^{r+1}}{r+1}},\qquad \int {\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} x^{r}}}=-{\frac {1}{(r-1)x^{r-1}}}\,;$

comme on le savait déjà.

Pour second exemple, soit l’intégrale $\int a^{x}\operatorname {d} x\,;$ nous aurons en prenant les logarithmes népériens

$X=a^{x},\quad {\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}=a^{x}\operatorname {Log} .a,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}}=a^{x}\operatorname {Log} .^{2}a,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}X}{\operatorname {d} x^{3}}}=a^{x}\operatorname {Log} .^{3}a\,;$

d’où il sera facile de xonclure généralement

${\frac {\operatorname {d} ^{m}X}{\operatorname {d} x^{m}}}=a^{x}\operatorname {Log} .^{m}a\,;$

puis en changeant le signe de $m$ et remplaçant $X$ par sa valeur

$\int ^{m}a^{x}\operatorname {d} x^{m}={\frac {a^{x}}{\operatorname {Log} .^{m}a}}\,;$

et, en particulier,

$\int a^{x}\operatorname {d} x={\frac {a^{x}}{\operatorname {Log} .a}}.$

comme on le savait déjà.

Traitons encore les deux intégrales

$\int \operatorname {d} x\operatorname {Sin} .x,\qquad \int \operatorname {d} x\operatorname {Cos} .x\,;$

Pour la première, nous aurons

$X=\operatorname {Sin} .x,\quad {\frac {\operatorname {d} X}{\operatorname {d} x}}=\operatorname {Cos} .x,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{2}X}{\operatorname {d} x^{2}}}=-\operatorname {Sin} .x,\quad {\frac {\operatorname {d} ^{3}X}{\operatorname {d} x^{3}}}=-\operatorname {Cos} .x,$

et, en général

${\frac {\operatorname {d} ^{m}.X}{\operatorname {d} x^{m}}}=\operatorname {Sin} .\left(x+m{\frac {\varpi }{2}}\right)$