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$\int ^{m}a^{x}Cos.x\operatorname {d} x^{m}={\frac {a^{x}}{Log.^{m}a}}\times$

$\left(\operatorname {Cos} .x+{\frac {m}{1}}{\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Log} .a}}-{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}{\frac {\operatorname {Cos} .x}{\operatorname {Log} .^{2}a}}-{\frac {m}{1}}.{\frac {m+1}{2}}{\frac {m+2}{3}}{\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Log} .^{3}a}}+\ldots \right)$

en faisant ensuite $m=1,$ on conclura de là

$\int a^{x}\operatorname {Sin} .x\operatorname {d} x=$

$a^{x}\left({\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Log} .a}}-{\frac {\operatorname {Cos} .x}{\operatorname {Log} .^{2}a}}-{\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Log} .^{3}a}}+{\frac {\operatorname {Cos} .x}{\operatorname {Log} .^{4}a}}+{\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Log} .^{5}a}}-\ldots \right),$

$\int a^{x}\operatorname {Cos} .x\operatorname {d} x=$

$a^{x}\left({\frac {\operatorname {Cos} .x}{\operatorname {Log} .a}}+{\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Log} .^{2}a}}-{\frac {\operatorname {Cos} .x}{\operatorname {Log} .^{3}a}}-{\frac {\operatorname {Sin} .x}{\operatorname {Log} .^{4}a}}+{\frac {\operatorname {Cos} .x}{\operatorname {Log} .^{5}a}}+\ldots \right)\,;$

comme on le trouverait d’ailleurs en intégrant par partie.

Comme il s’agit toujours ici de logarithmes népériens, si l’on change $a$ et $e$, il viendra simplement

$\int e^{x}\operatorname {Sin} .x\operatorname {d} x=$

$e^{x}\left(\operatorname {Sin} .x-\operatorname {Cos} .x-\operatorname {Sin} .x+\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Sin} .x-\operatorname {Cos} .x-\ldots \right),$

$\int e^{x}\operatorname {Cos} .x\operatorname {d} x=$

$e^{x}\left(\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Sin} .x-\operatorname {Cos} .x-\operatorname {Sin} .x+\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Sin} .x-\ldots \right).$

Pour savoir ce que valent ces séries, nous remarquerons que, suivant que le nombre des termes qu’on y admet est de l’une des formes $4n,\ 4n+1,\ 4n+2,\ 4n+3,$ la première se réduit à

$0,\quad +\operatorname {Sin} .x,\quad +\operatorname {Sin} .x-\operatorname {Cos} .x,\quad -\operatorname {Cos} .x,$

et la seconde à

$0,\quad +\operatorname {Cos} .x,\quad +\operatorname {Cos} .x+\operatorname {Sin} .x,\quad +\operatorname {Sin} .x\,;$

prenant donc dans chacune le quart de la somme de ces quatre résultats, nous aurons

$\int e^{x}\operatorname {Sin} .x\operatorname {d} x={\frac {1}{2}}e^{x}(\operatorname {Sin} .x-\operatorname {Cos} .x),$

$\int e^{x}\operatorname {Cos} .x\operatorname {d} x={\frac {1}{2}}e^{x}(\operatorname {Sin} .x+\operatorname {Cos} .x)\,;$

ce que la différentiation confirme parfaitement.