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Nous pourrons revenir encore » dans une autre occasion, sur ce procédé d’intégration ; nous nous bornerons à observer, pour le présent, que, comme on a,

$\Sigma ^{m}.\operatorname {f} x=\Delta ^{-m}.\operatorname {f} x,$

il peut être tout aussi bien appliqué à l’intégration des formules aux différences qu’à celle des formules différentielles.

ARITHMÉTIQUE.

Abréviation de l’extraction des racines numériques ;

Par M. Bobillier, professeur à l’école des arts et métiers
de Châlons-Sur-Marne.

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Soit un nombre entier dont on veut obtenir la racine m.^ième, soient $a$ une partie de cette racine déjà obtenue, $x$ ce qu’il faut lui ajouter pour compléter la racine demandée et $r$ le reste obtenu en retranchant du nombre proposé la m.^ième puissance de la première partie de cette racine ; ce nombre sera ainsi indifféremment $a^{m}+r$ ou $(a+x)^{m}.$ On aura donc

$a^{m}+r=(a+x)^{m}=a^{m}+{\frac {m}{1}}a^{m-1}x+{\frac {m}{1}}.{\frac {m-1}{2}}a^{m-2}x^{2}+\ldots$

ou, en supprimant $a^{m}$ de part et d’autre et divisant ensuite par $ma^{m-1}$

${\frac {r}{ma^{m-1}}}=x+{\frac {m-1}{2}}{\frac {x^{2}}{a}}+{\frac {m-1}{2}}{\frac {m-2}{3}}{\frac {x^{3}}{a^{2}}}+{\frac {m-1}{2}}{\frac {m-2}{3}}{\frac {m-3}{4}}{\frac {x^{4}}{a^{3}}}+\ldots$