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${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\varphi (x),\quad$d’où$\quad m=\varphi '(0)\,;$

substituant ces valeurs dans l’équation (6), elle deviendra

$\lambda ^{2}\left\{\varphi '^{2}(x)-\varphi '^{2}(0)\right\}=\left\{1+\varphi '^{2}(0)\right\}u\,;$

d’où on tirera

$u={\frac {\lambda ^{2}\left\{\varphi '^{2}(x)-\varphi '^{2}(0)\right\}}{1+\varphi '^{2}(0)}}\,;\qquad$(10)

mettant donc pour $x$, dans cette dernière formule ; sa valeur en $y,$ tirée de l’équation (9), on obtiendra ainsi la valeur de $u$ en fonction de $y$, c’est-à-dire l’équation de la caractéristique.

x. Donnons des exemples de l’application de ce procédé. Supposons d’abord que l’observation ait donné, pour la figure du rayon, une droite ayant pour équation

$y=\varphi (x)=\mu x\,;$

il en résultera

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\varphi '(x)=\mu ,\quad$d’où$\quad m=\varphi '(0)=\mu \,;$

substituant ces valeurs dans la formule (10), elle deviendra

$u={\frac {\lambda ^{2}\left(\mu ^{2}-\mu ^{2}\right)}{1+\mu ^{2}}}=0\,;$

résultat qui ne renferme plus $x$ et qui nous apprend qu’ici la caractéristique est l’axe des $y$ ou une parallèle à cet axe ; ce qui revient à dire que les rayons de lumière non verticaux ne sauraient être rectilignes que dans un milieu de densité constante, ce qui était d’ailleurs facile à prévoir.