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Supposons, pour second exemple, qu’on ait trouvé, pour la figure du rayon, une parabole ayant son axe vertical et exprimée par l’équation

$y=\varphi (x)={\frac {2gx+x^{2}}{2h}}\,;$

il en résultera

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}=\varphi '(x)={\frac {g+x}{h}},\quad$d’où$\quad m=\varphi '(0)={\frac {g}{h}}\,;$

substituant ces valeurs dans la formule (10), elle deviendra

$u={\frac {\lambda ^{2}\left(2gx+x^{2}\right)}{g^{2}+h^{2}}}\,;$

éliminant enfin $x$ ou, ce qui revient au même, $2gx+x^{2}$ de cette dernière formule, au moyen de l’équation du rayon lumineux, il viendra, pour l’équation de la caractéristique,

$u={\frac {2\lambda hy}{g^{2}+h^{2}}}\,;$

c’est-à-dire qu’ici la caractéristique est une droite inclinée à l’axe des $y\,;$ ce qui revient à dire que la densité des couches du milieu croît ou décroît proportionnellement à leur élévation au-dessus du sol. Ce n’est donc que dans un milieu ainsi constitué que les rayons lumineux peuvent être paraboliques ; les résultats obtenus prouvent d’ailleurs que les paraboles tournent constamment leur convexité du côté le moins dense.

xi. Passons présentement à l’autre question, c’est-à-dire à celle où, au contraire, il s’agit de conclure de la nature du milieu la figure de la courbe tracée par le rayon lumineux. On conçoit que, pour cela, il ne sera question que de substituer pour $u$, dans la